\begin{exo}
	{\'E}crire  les syst{\`e}mes suivants sous forme matricielle et {\`a} l'aide d'applications
	lin{\'e}aires de $\RR^3$ dans $\RR ^3$. Les r{\'e}soudre par la m{\'e}thode de Gauss.

	$$(1) \left\{
	\begin{array}{r}
		x+y +z  = 0 \\
		x +2y+3z = 2 \\
		x+3y+4z = 3
	\end{array}
	\right. \quad\quad
	(2) \left\{
	\begin{array}{crr}
		x+3y -z & =& 9 \\
		3x +9y-3z &=& 27 \\
		-2x+y-5z &= &10
	\end{array}
	\right.$$

	Calculer les d{\'e}terminants des matrices associ{\'e}es. Lequel aurait-on pu
	d{\'e}terminer sans calcul ?

	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item  solution $(x,y,z)=(-1,0,1)$.
			\item  Noter que $l_2=3l_1$. On obtient
				$\left\{
				\begin{array}{l}
					x = -3 -2z \\
					y = 4+z
				\end{array}
				\right.$.
				Posons $s=(-3,4,0)$ et $u_=(-2,1,1)$. La solution est
				$s$+Vect$(u)$.
		\end{enumerate}

		Le d\'eterminant du premier syst\`eme est $-1$ et celui du second est $0$.
		L'unicit\'e de la solution du premier syst\`eme implique que le d\'eterminant
		est non nul, et la non unicit\'e pour le second implique que le d\'eterminant est nul.


	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Dans cet exercice, toutes les matrices sont carr{\'e}es.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M'$ la matrice obtenue {\`a} partir de la matrice $M$ par l'op{\'e}ration
			$L_1\rightarrow 2L_1+L_2$. Est-ce qu'alors $\det(M)=\det(M')$?
		\item Montrer que le d{\'e}terminant
			$\begin{array}{|rrr|}
				1& 2 & 3\\
				1 & 0 & 2\\
				2 & 4 & 6
			\end{array} $
			est un entier pair. Est-il multiple de 4 ?
		\item Montrer sans calcul que
			$\begin{array}{|rrr|}
				-1& 2 & 3\\
				1 & 2 & -1\\
				0 & 4 & 1
			\end{array} = \begin{array}{|rrr|}
				-2& 2 & 6\\
				1 & 1 & -1\\
				0 & 2 & 1
			\end{array}= \begin{array}{|rrr|}
				-1& 1 & 3\\
				1 & 1 & -1\\
				0 & 4 & 2
			\end{array} $
		\item En dimension 3, a-t-on $\det_{\cal{B}}(v_1,v_2,v_3)=\det_{\cal{B}}(v_2,v_3,v_1)$?
			En dimension 4, a-t-on $\det_{\cal{B}}(v_1,v_2,v_3,v_4)=\det_{\cal{B}}(v_2,v_3,v_4,v_1)$?
		\item Soit $v$ un vecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$.
			Si $\det(v_1+v,v_2,...,v_n)=\det(v_1,...,v_n)$,
			a-t-on alors $v \in vect(v_2,..,v_n)$?
		\item Supposons que $M$ et $M'$ sont deux matrices carr{\'e}es telles qu'il existe
			$X \in \RR^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=M'X$. Peut-on en d{\'e}duire que $\det(M)=\det(M')$?
		\item S'il existe $X \in \RR^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=M'X=0$, peut-on en d{\'e}duire que $\det(M)=\det(M')$?
		\item S'il existe $X \in \RR^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=M'X$, peut-on en d{\'e}duire que $\det(M-M')=0$?
	\end{enumerate}

	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item Non. $\det(M')=2\det(M)$.
			\item Non. Consid\'erer $M=\left({\begin{array}{cc}
					1&0\\
					0&1
				\end{array}}\right)$, $M'=\left({\begin{array}{cc}
					1&0\\
					0&0
				\end{array}}\right)$  et $X=e_1$.
			\item Oui car $\ker(M-M')$ est non trivial.
			\item Oui en permutant deux fois.
			\item On a $0=\det(v_1+v,v_2,...,v_n)-\det(v_1,...,v_n)= \det(v,v_2,...,v_n)$.
				En dimension $2$ cela implique que $v \in vect(v_2)$. En dimension sup\'erieure non car
				$(v_2,...,v_n)$ peut \^etre li\'ee.
		\end{enumerate}


	\end{correction}

\end{exo}
%=============


\begin{exo}
	Calculer les d{\'e}terminants des matrices suivantes
	$$
	A=\left({\begin{array}{ccc}
		1&1&-1\\
		2&3&-4\\
		4&1&-4
	\end{array}}\right)\quad
	B=\left({\begin{array}{ccc}
		-1&1&1\\
		1&-1&1\\
		1&1&-1
	\end{array}}\right)\quad
	C=\left({\begin{array}{ccc}
		4&1&2\\
		-1&1&-1\\
		-2&-1&0
	\end{array}}\right)
	$$
	$$
	D=\left({\begin{array}{ccc}
		1&1&-2\\
		0&2&-2\\
		1&0&0
	\end{array}}\right)
	\quad
	E=\left({\begin{array}{ccc}
		3&1&5\\
		0&-1&0\\
		-4&1&-7
	\end{array}}\right)
	\quad
	F= \left({\begin{array}{cccc}
		1 & 2 & 1& 3\\
		4 & 0 & 3& 1\\
		-1 & 2 & -3& 0\\
		1& 6& -1& -1
	\end{array}}\right)
	$$
	$$
	G= \left({\begin{array}{cccc}
		3 & 1 & 1& 3\\
		1 & 0 & 1& 0\\
		1 & -1 & 0& -3\\
		0 & 2& 1& 0
	\end{array}}\right)
	$$

	%-----------
	\begin{correction}


		$\det(A) = -6$, $\det(B)= 4$, $\det(C)=4$, $\det(D)=2$.
	\end{correction}

\end{exo}
%=============


\begin{exo}
	Calculer les d{\'e}terminants suivants

	$$	A= \begin{array}{|rrr|}
		1& \cos x & \cos 2x\\
		1 & \cos y & \cos 2y\\
		1 & \cos z & \cos 2z
	\end{array}\quad,\quad\quad
	B= \begin{array}{|rrrr|}
		0 & 1 & 1& 1\\
		1 & 0 & c^2& b^2\\
		1 & c^2 & 0& a^2\\
		1& b^2& a^2& 0
	\end{array} \quad$$

	{\it (Indication : pour le d{\'e}terminant A, on pourra d{\'e}velopper $\cos 2x$ et faire des op{\'e}rations sur les colonnes.)}
	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item $\Delta=-140$
			\item $\Delta=2(\cos y -\cos x)(\cos z -\cos x) (\cos z -\cos y)$
			\item Par exemple, commencer \`a trigonaliser pour
				obtenir la forme factroris\'ee :
				$$\Delta=-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$$.
		\end{enumerate}

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
